Баринев был нападающим "Спартака" с 1975 по 1980 год и стал чемпионом страны в 1976 году. Помимо этого, он получил две бронзовые медали первенства. После завершения карьеры он тренировал молодежную команду красно-белых. Причина смерти знаменитого хоккеиста столичной команды не сообщается.
Также Александр Баринев выступал за ЦСКА, СКА МВО, воскресенский "Химик" и саратовский "Кристалл". С 1980 по 1984 год играл за австрийский "Фельдкирх".
